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在初一数学里，绝对值的极值模型主要围绕 “绝对值表示距离” 这一几何意义展开，核心是分析含有绝对值的式子的最小值（初一阶段一般不怎么涉及最大值）。下面是这些常见的模型和规律：
一、核心基础：绝对值的几何意义
一个数与另一个固定数的差的绝对值，其实表示的是 “数轴上这个数对应的点到那个固定数对应的点之间的距离”。比如：
“一个数与 3 的差的绝对值”，就是 “数轴上这个数对应的点到 3 对应的点的距离”；
“一个数与 - 2 的差的绝对值”（也就是 “一个数加 2 的绝对值”），就是 “数轴上这个数对应的点到 - 2 对应的点的距离”。
二、常见的极值模型及规律
1. 单个绝对值的情况 ：一个数与某固定数的差的绝对值
含义：数轴上这个数对应的点到那个固定数对应的点的距离。
最小值：距离最小的时候是 0，这时候这个数刚好等于那个固定数（也就是两个点重合）。
例子：“一个数与 5 的差的绝对值”，最小值是 0，当这个数等于 5 的时候取得。
2. 两个绝对值相加的情况 ：一个数分别与两个固定数的差的绝对值相加
含义：数轴上这个数对应的点到第一个固定数对应的点的距离，加上到第二个固定数对应的点的距离。
分情况说：
如果两个固定数相等（比如 “一个数与 3 的差的绝对值加这个数与 3 的差的绝对值”，其实就是这个绝对值的两倍）：
最小值是 0，当这个数等于那个固定数的时候取得。
如果两个固定数不相等（假设第一个固定数比第二个小）：
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打开今日头条查看图片详情当这个数在两个固定数之间（包括这两个固定数本身）时，这两个距离加起来最小，最小值等于两个固定数之间的距离。
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打开今日头条查看图片详情例子：“一个数与 1 的差的绝对值加这个数与 4 的差的绝对值”，1 和 4 是两个固定数，当这个数在 1 到 4 之间（包括 1 和 4）时，加起来的和最小，等于 1 到 4 之间的距离 3（比如这个数是 2 时，到 1 的距离是 1，到 4 的距离是 2，加起来是 3）。
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打开今日头条查看图片详情3. 三个绝对值相加的情况 ：一个数分别与三个固定数的差的绝对值相加（假设三个固定数按从小到大排列）
含义：数轴上这个数对应的点分别到三个固定数对应的点的距离加起来。
规律：当这个数等于中间的那个固定数时，这三个距离加起来最小，最小值等于最大的固定数与最小的固定数之间的距离。
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打开今日头条查看图片详情例子：“一个数与 2 的差的绝对值加这个数与 5 的差的绝对值加这个数与 7 的差的绝对值”，2、5、7 是按从小到大排列的三个固定数，当这个数等于 5 时，加起来的和最小，等于 7 与 2 之间的距离 5（此时到 2 的距离是 3，到 5 的距离是 0，到 7 的距离是 2，加起来是 5）。
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打开今日头条查看图片详情总结核心方法
解决绝对值极值问题的关键是利用 “距离的几何意义”：
单个绝对值的情况，找与固定点重合的数（此时距离最小为 0）；
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打开今日头条查看图片详情多个绝对值相加的情况，找 “中间位置”（如果是偶数个固定数，中间位置是两个固定数之间的区间；如果是奇数个，中间位置是正中间的那个固定数），这时候总距离最小。
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打开今日头条查看图片详情通过在数轴上画图分析，能更清楚地看出 “距离总和的变化规律”，这是初一阶段掌握这类模型的核心技巧。
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